Luận văn Biến đổi Fourier nhanh và ứng dụng

Mục lục

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Chương 1. Biến đổi Fourier rời rạc 6

1.1. Căn bậc N của đơn vị và các tính chất . . . . . . . . . . 7

1.1.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.2. Các tính chất của WN . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Hàm rời rạc tuần hoàn trong không gian Unita CN . . . 8

1.2.1. Hàm rời rạc tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2.2. Không gian Unita CN . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Biến đổi Fourier rời rạc của dãy tuần hoàn . . . . . . . . 11

1.3.1. Dẫn luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3.2. Định nghĩa biến đổi Fourier rời rạc . . . . . . . . 12

1.4. Công thức biến đổi Fourier rời rạc ngược của dãy tuần hoàn 13

1.5. Các tính chất của biến đổi Fourier rời rạc đối với dãy tuầnhoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1. Tính tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.2. Tích chập. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.3. Đẳng thức Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.4. Tính tuần hoàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.5.5. Dịch chuyển và biến điệu . . . . . . . . . . . . . . 17

1.6. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.7. Biến đổi Fourier rời rạc của dãy không tuần hoàn có chiều

dài hữu hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.8. Biến đổi cosine và sine rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.8.1. Định nghĩa biến đổi rời rạc tổng quát . . . . . . . 22

1.8.2. Các phép biến đổi DCT - 1 và DCT - 2 . . . . . . 23

Chương 2. Biến đổi Fourier nhanh 25

2.1. Thuật toán biến đổi Fourier nhanh rút gọn theo thời gian

đối với N = 2k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.1. Mô tả thuật toán FFT . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1.2. Sơ đồ thuật toán FFT theo thời gian đối với N = 23 28

2.2. Hiệu quả tính toán của thuật toán FFT . . . . . . . . . 28

2.3. Thuật toán Fourier nhanh rút gọn theo tần số . . . . . . 31

2.3.1. Nội dung của thuật toán rút gọn theo tần số . . . 31

2.3.2. Sơ đồ thuật toán FFT theo tần số với N = 23 . . 33

2.4. Biến đổi Fourier nhanh đối với trường hợp N = RC . . . 33

2.4.1. Trường hợp N = 6 = 3.2 . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.2. Dạng nhân tử FFT tổng quát . . . . . . . . . . . 36

Chương 3. Một số ứng dụng 39

3.1. Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . 39

3.2. Bài toán biên Dirichlet cho phương trình Helmholz . . . 41

3.2.1. Đặt bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.2. Rời rạc hóa bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.3. Fourier rời rạc cà Fourier nhanh . . . . . . . . . . 42

3.3. Tín hiệu tiếng hót . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.3.2. Các tính chất cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4. Một số hệ thống tuyến tính trong lý thuyết tín hiệu số . 47

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62